Рисунок 1. Электростатические и сторонние силы.

 

Рисунок 6. Последовательное соединение источников тока.

Мы приходим к выводу, что с точки зрения расчета величины силы тока нагрузки i₃ параллельное соединение двух источников тока эквивалентно одному источнику тока. Параметры этого эквивалентного источника следующим образом выражаются через параметры двух реальных источников:

,       (23)

,       (24)

,       (25)

.        (26)

Замечание 2. Если на участке AB цепь разомкнута, что соответствует математически случаю , то в случае не равных э.д.с. на замкнутом участке C₁C₂D₂D₁C₁ цепи циркулирует кольцевой ток .

При прохождении тока в цепи на её элементах, обладающих активным сопротивлением, выделяется энергия. В данном случае энергия выделяется на трёх элементах цепи: на двух источниках тока и сопротивлении нагрузки. Согласно формулам (20, 21) для токов i₁ и i₂ в двух источниках тока в сумме выделяется мощность

       (27)

.       (28)

Максимальное значение мощности, выделяемой в источниках тока, получается при R=0 (короткое замыкание). Значение мощности короткого замыкания равно

.       (29)

.       (30)

Таким образом, мощность, выделяемая в источниках, как функция величины сопротивления нагрузки R может быть записана в виде

.       (31)

Рисунок 8. Распределение мощности в цепи при параллельном соединении источников тока.

Мощность, выделяемая в источнике тока, при увеличении сопротивления нагрузки R от нуля до бесконечности монотонно убывает от значения , приближаясь асимптотически к значению .

.       (32)

Как функция величины внешнего сопротивления R, мощность ведёт себя точно также, как и в случае одиночного источника тока с параметрами, совпадающими с параметрами эффективной э.д.с (см. рисунок 8), т.е. монотонно возрастает при 0<R<r и монотонно убывает к нулю при . Максимальное значение мощности P_e достигается при r=R и равно

.        (33)

Поведение коэффициентов χ и η существенно различно в случае равных э.д.с. E₁=E₂ и в случае неравных э.д.с. .

,        (34)

и графики зависимости мощностей P_i и P_e имеют тот же самый вид, что и для случая одиночного источника тока с параметрами, совпадающими с параметрами эффективной э.д.с (см. рисунок 3). Аналогичным образом ведут себя и коэффициенты χ и η как функции величины сопротивления нагрузки R (см. рисунки 4,5).

Функция P_i(R) так же монотонно убывает от своего максимального значения P_imax=P_is при , как и в случае одиночного источника тока, при , однако, в отличие от случая одиночного источника стремится асимптотически не к нулевому предельному значению, а к значению P_ic.

Рисунок 9. Отношение мощностей χ при параллельном соединении источников.

       (35)

при уже не является линейно возрастающей функцией сопротивления нагрузки R, а имеет на полупрямой точку максимума

.       (36)

       (37)

удовлетворяет неравенству , поэтому точка максимума r_o>r.

График к.п.д. как функции величины сопротивления нагрузки имеет вид аналогичный графику функции χ=χ(R) с единственным максимумом в той же точке R=r₀.

В случае параллельного соединения источников тока с неравными э.д.с. при рассмотрении распределения мощности в цепи два параллельно соединённых источника тока не могут быть заменены на эквивалентной схеме одним эквивалентным источником тока. Причина этого заключается в том, что в цепи, изображённой на рисунке 7, даже в случае разомкнутого внешнего участка AB, т.е. в случае , на замкнутом участке цепи C₁C₂D₂D₁C₁ течет кольцевой ток I_c и выделяется в источниках тока соответствующая мощность P_ic. В то время как мощность P_e, выделяемая на сопротивлении нагрузки, при стремится к нулю, мощность P_i, выделяемая в источниках тока, остаётся большей величины P_ic. Таким образом, работа с сопротивлением внешней нагрузки становится невыгодной — основная часть мощности тратится в самих источниках тока.

Замечание 3. В реальных электрических цепях обеспечить равенство э.д.с. E₁=E₂ возможно лишь с определённой погрешностью. Даже одинаково изготовленные источники тока не могут обеспечить точного равенства э.д.с., учитывая изменение параметров источников тока со временем. Таким образом, важна количественная оценка влияния разности э.д.с. на распределение мощности в цепи, проведенная в этом пункте.

При проведении физических измерений мы используем физические законы данной предметной области как методологическую основу измерения параметров исследуемых физических объектов. В данной работе мы используем закон Ома для полной цепи — формула (1) для определения двух неизвестных параметров E и r источника тока. Непосредственно измеряемыми величинами в эксперименте являются внешнее сопротивление R и сила тока i=i₃. Для определения интересующих нас двух независимых числовых параметров E и r достаточно, в принципе, измерить значения силы тока i при двух значениях внешнего сопротивления R и, записав при двух известных значениях R закон Ома (1), разрешить получившиеся два уравнения относительно двух неизвестных числовых параметров E и r. Однако измерение физической величины i проводится с ошибкой и соответственно с ошибкой будет определено искомое значение параметров E и r. Для уменьшения этой ошибки естественно увеличить объём информации о неизвестных числовых параметрах E и r путём проведения дополнительных измерений значений силы тока i при ряде значений сопротивления R. На этом пути мы встречаемся со следующей трудностью: система n>2 алгебраических уравнений с двумя неизвестными, вообще говоря, не имеет решения. Для того чтобы преодолеть эту трудность, сформулируем сначала соответствующую математическую задачу.

В формуле (1) закона Ома для полной цепи величины E и r — числовые параметры, величина x=R независимая переменная, а величина y=i зависимая переменная. Таким образом, мы имеем дело с функцией y=f(x,E,r) известного вида

,       (38)

зависящей от двух числовых параметров. Требуется по известным с ошибкой значениям y_k функции y=f(x,E,r) в точках x_k определить значения параметров E и r. В данном случае математическую задачу можно свести к аналогичной задаче для простейшей математической функции — многочлена первой степени путём замены зависимой переменной. Для этого в равенстве (1) перейдём к обратным величинам. Получим равенство

.        (39)

Обозначим через x=R — независимую переменную, через — зависимую переменную, введём параметры

,        (40)

       (41)

.       (42)

Мы пришли к задаче об определении неизвестных коэффициентов a и b полинома первой степени (42) по известным приближённо его значениям y_k в n точках x_k, k=1,2, … n. Решение этой математической задачи мы рассмотрим в пункте 1.6.

В данной работе мы используем также закон Ома в его простейшей форме

       (43)

для контроля точности измерений силы тока i через резистор нагрузки. Здесь i — сила тока через сопротивление нагрузки, U — падение напряжения на резисторе нагрузки, R — сопротивление нагрузки. Как мы уже выяснили в пункте 1.4, для определения значения двух измеряемых параметров E и r источника тока достаточно измерить величину силы тока i через резистор нагрузки при двух различных значениях сопротивления нагрузки R. Однако в данной работе мы независимо измеряем также вольтметром падение напряжения U на резисторе нагрузки. Получаемая таким образом информация не является необходимой для определения параметров E и r источника тока. Эта избыточная информация используется для контроля точности измерений и отбраковки ошибочных измерений.

А именно, по формуле (43) вычисляется при данном значении R величина силы тока через сопротивление нагрузки i и сравнивается с непосредственно измеренным амперметром значением той же силы тока через сопротивление нагрузки. В случае когда эти две величины сильно отличаются, а именно, когда

,        (44)

Вернёмся к поставленной в пункте 1.4 задаче об определении неизвестных параметров a и b известной функции y=f(x,a,b) по приближённым измерениям её значений y_k при n значениях аргумента x_k, k=1, 2, … n. Нас в первую очередь интересует случай, когда функция

y=f(x,a,b)=ax+b ,       (45)

т.е. когда функция y=f(x,a,b) полином первой степени по своему аргументу x. В этом случае график функции (45) на плоскости (x,y) является прямой линией. Параметр a — тангенс угла наклона прямой, а параметр b — ордината точки пересечения прямой с осью ординат.

В случае n=2 , когда число неизвестных параметров равно числу измерений, на плоскости (x,y) задано 2 разные экспериментальные точки M₁=(x₁,y₁) , M₂=(x₂,y₂) и требуется найти параметры прямой, которая через них проходит. Поскольку через любые две точки плоскости можно провести единственную прямую, эта задача имеет очевидное единственное решение.

Однако, уже в случае n=3 мы сталкиваемся со следующей трудностью. При фиксированных значениях параметров a и b, соответствующих фиксированному источнику тока, все точки графика функции (45) лежат на одной прямой. Поэтому все экспериментальные точки M_k=(x_k,y_k) должны были бы лежать на одной прямой. Однако наши измерения проводятся с некоторой погрешностью, поэтому реальные экспериментально измеренные точки M_k=(x_k,y_k) уже не удовлетворяют соотношению (45) с настоящими точными значениями параметров a и b и вообще могут не лежать на одной прямой.

Итак, в случае n=3 и более, вообще говоря, не существует прямой, проходящей через экспериментальные точки M₁=(x₁,y₁), M₂=(x₂,y₂), … M_n=(x_n,y_n). Таким образом, наличие погрешности измерений заставляет нас изменить постановку задачи. Мы должны принять во внимание, что если данные измерений известны с погрешностью, то и интересующие нас значения параметров a и b могут быть найдены лишь с некоторой погрешностью. Т.е. по приближённо заданным значениям функции в n точках нам следует искать приближённые значения параметров a и b. Эти приближённые значения мы будем искать, используя метод наименьших квадратов. А именно, если y_k — измеренное с ошибкой в точке x=x_k значение функции f(x,a,b), то вообще говоря, . Составим сумму квадратов разностей отклонений по всем измеренным точкам

       (46)

и выберем искомые значения параметров a и b из условия, чтобы сумма (46) была минимальна

.        (47)

В случае, когда функция и функция f(x,a,b) — полином первой степени вида (45), существует единственное значение параметров (a,b), при котором достигается минимум функции L(a,b). Это значение находится из необходимого условия экстремума функции L(a,b). Приравнивая нулю частные производные

       (48)

,        (49)

мы получаем следующую систему двух линейных уравнений относительно двух неизвестных a и b:

,       (50)

.       (51)

,       (52)

.        (53)

Прямая с параметрами a и b, вычисленными по формулам (52, 53) через измеренные значения y_k и x_k, k=1, 2, … n, называется прямой, построенной по методу наименьших квадратов. Формулы (52, 53) мы и будем использовать для обработки наблюдений в данной работе.